VSTUPNÍ ČÁST

Název modulu

Rovnice a nerovnice v aplikacích

Kód modulu

MA-m-4/AI68

Typ vzdělávání

Všeobecné vzdělávání

Typ modulu

všeobecně vzdělávací

Kategorie dosaženého vzdělání

M (EQF úroveň 4)

L0 (EQF úroveň 4)

Vzdělávací oblasti

MA - Matematika a její aplikace

Komplexní úloha

Řešení soustav n lineárních rovnic o n neznámých

Obory vzdělání - poznámky

Délka modulu (počet hodin)

32

Poznámka k délce modulu

Platnost modulu od

30. 04. 2020

Platnost modulu do

Vstupní předpoklady

Vstupním požadavkem jsou znalosti a dovednosti získané v modulech Operace s čísly, Číselné a algebraické výrazy, Rovnice a nerovnice, Funkce, Goniometrie a trigonometrie, Komplexní čísla.

JÁDRO MODULU

Charakteristika modulu

Vzdělávací modul Rovnice a nerovnice v aplikacích je určen především žákům technických oborů kategorie vzdělávání M/L0, kteří mají v průběhu studia vyšší počet hodin matematiky.

Obsahový okruh:

Žáci se na konkrétních příkladech z běžného života i oboru vzdělání řeší lineární rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, lineární a kvadratické rovnice s parametrem, rovnice a nerovnice vyšších stupňů, rovnice s neznámou pod odmocninou, složitější typy exponenciálních a logaritmických rovnic, složitější typy goniometrických rovnic a nerovnic. Osvojené metody používají při řešení úloh se vztahem k běžnému životu a oboru vzdělání. Výsledky posuzují z hlediska matematické i věcné správnosti. Při řešení úloh efektivně využívají digitální technologie, matematický software a informační zdroje.

Očekávané výsledky učení

Žák

• stanoví podmínky, za kterých jsou výrazy v rovnici definovány;
• vyřeší lineární a kvadratické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou v R;
• řeší lineární a kvadratické rovnice s parametrem, diskutuje jejich řešitelnost nebo počet řešení;
• interpretuje geometricky číselné, algebraické a funkční vztahy, graficky znázorňuje řešení lineárních a kvadratických rovnic a nerovnic a jejich soustav;
• řeší rovnice a nerovnice vyšších stupňů substitucí nebo rozkladem na součin;
• řeší rovnice s neznámou pod odmocninou umocněním nebo substitucí;
• řeší lineární, kvadratické a binomické rovnice v oboru komplexních čísel;
• řeší složitější typy exponenciálních a logaritmických rovnic;
• řeší složitější typy goniometrických rovnic;
• graficky řeší jednoduché exponenciální, logaritmické a goniometrické nerovnice;
• využívá přibližné řešení goniometrických rovnic a nerovnic grafickou metodou;
• řeší především úlohy se vztahem k běžnému životu a oboru vzdělávání;
• využívá k řešení problémů digitální technologie, vhodný matematický software a informační zdroje.

Obsah vzdělávání (rozpis učiva)

• Lineární a kvadratické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
• Lineární a kvadratické rovnice s parametrem
• Grafické řešení lineárních a kvadratických rovnic a nerovnic a jejich soustav
• Rovnice a nerovnice vyšších stupňů
• Rovnice s neznámou pod odmocninou
• Lineární, kvadratické a binomické rovnice v oboru komplexních čísel
• Exponenciální a logaritmické rovnice
• Goniometrické rovnice
• Grafické řešení exponenciálních, logaritmických a goniometrických rovnic a nerovnic
• Rovnice v oboru komplexních čísel
• Řešení úloh se vztahem k běžnému životu a oboru vzdělání
• Využití digitálních technologií a matematického software pro řešení úloh

Učební činnosti žáků a strategie výuky

Pro dosažení výsledků učení jsou doporučeny následující činnosti:

• výklad učitele s ilustračními příklady
• dialog učitele se žáky
• řízená diskuze ve skupině – skupiny pracují s pracovními listy
• individuální práce – sešit, informační a komunikační technologie
• písemné práce, testy

Zařazení do učebního plánu, ročník

VÝSTUPNÍ ČÁST

Způsob ověřování dosažených výsledků

Výsledky učení se ověřují jak průběžně, tak i v závěru modulu. Při hodnocení je kladen důraz na hloubku porozumění učivu a schopnosti aplikovat poznatky v praxi. Učitel kombinuje různé způsoby ověřování dosažených výsledků učení.

Hodnocení by mělo motivovat žáky k dalšímu zlepšování.

Možné způsoby ověřování dosažených výsledků učení:

• dialog učitele se žákem
• řízená diskuse mezi žáky ve skupině
• práce s pracovními listy
• písemné práce
• testy na prostředcích digitálních technologií

Kritéria hodnocení

V rámci hodnocení je nutné posoudit, zda výsledek je správný jak z matematického, tak i věcného hlediska. Uvedené hodnocení body lze využít postupně dle činností žáků k formativnímu hodnocení, součtu bodů k hodnocení sumativnímu. Uvedené rozpětí v bodovém ohodnocení umožňuje zohlednit v hodnocení i míru podpory, kterou žák při řešení úlohy potřeboval.

Žák

• zvolí vhodnou metodu a vyřeší lineární a kvadratické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou – max. 10 bodů
• provede diskuzi a vyřeší lineární a kvadratickou rovnici s parametrem – max. 15 bodů
• řeší v R rovnice s neznámou pod odmocninou – max. 15 bodů
• řeší v R lineární rovnice, nerovnice a jejich soustavy, kvadratickou rovnici a nerovnici, rovnice vyšších stupňů a s neznámou ve jmenovateli. Při řešení vhodně využije průběh grafu funkce – max. 15 bodů
• řeší lineární, kvadratické a binomické rovnice v oboru komplexních čísel. Při řešení vhodně využije grafické zobrazení v rovině komplexních čísel – max. 15 bodů
• řeší složitější typy exponenciálních, logaritmických a goniometrických rovnic.  Při řešení jednoduchých exponenciálních, logaritmických a goniometrických nerovnic vhodně využije průběh grafu funkce – max. 15 bodů
• řeší úlohy z oboru vzdělávání a vhodně využívá digitální technologie a matematický software – max. 15 bodů

Na základě počtu bodů je žák klasifikován příslušnou známkou. Učitel přitom přihlíží na žákovy schopnosti, které jsou dány např. specifickými poruchami učení nebo zdravotními a psychickými omezeními.

Hodnocení:

100–86 ⇒ výborný

85–75 ⇒ chvalitebný

74–50 ⇒ dobrý

49–33 ⇒ dostatečný

32–0 ⇒ nedostatečný

Doporučená literatura

O. Odvárko: Rovnice a nerovnice, matematika pro střední školy. Prometheus Praha. ISBN 978-80-7196-455-1.

J. Robová, M. Hála, E. Calda: Komplexní čísla, kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, matematika pro střední školy. Prometheus Praha. ISBN 978-80-7196-425-4.

O. Odvárko: Funkce, Matematika pro střední školy. Prometheus Praha. ISBN:978-80-7196-466-7.

F. Jirásek a kol.: Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. Prometheus Praha. ISBN 80-7196-322-4.

M. Hudcová, L. Kubičíková: Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Prometheus Praha. ISBN: 978-80-7196-318-9.

M. Bartošek, F. Procházka, M. Staněk: Aplikované úlohy z matematiky formou žákovských miniprojektů. NÚV.

M. Bartošek, F. Procházka, M. Staněk, Z. Bobková: Sbírka řešených úloh z aplikované matematiky pro střední školy pro technické obory se strojírenským základem. NÚV.

Poznámky

O zařazení tohoto modulu rozhodne škola. Protože ne všechny obory SOŠ potřebují rovnice a nerovnice v rozsahu uvedeném v tomto modulu. Mohou si vybrat mezi těmito moduly: Lineární a kvadratické rovnice a nerovnice v aplikacích, Goniometrické rovnice a nerovnice v aplikacích, Exponenciální rovnice a nerovnice v aplikacích, Rovnice v oboru komplexních čísel v aplikacích.

Počet hodin je pouze orientační. Školy si ho upraví podle svých potřeb.

Materiál vznikl v rámci projektu Modernizace odborného vzdělávání (MOV), který byl spolufinancován z Evropských strukturálních a investičních fondů a jehož realizaci zajišťoval Národní pedagogický institut České republiky. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je František Procházka. Creative Commons CC BY SA 4.0 – Uveďte původ – Zachovejte licenci 4.0 Mezinárodní.